Pitágoras fue un pensador griego de la Antigüedad. Su nombre aparece en uno de los teoremas más conocidos de la geometría, pero su historia tiene preguntas sin resolver. Para conocerlo conviene separar tres cosas: la persona, la comunidad que lo siguió y la relación matemática que hoy lleva su nombre.

¿Dónde y cuándo vivió?

Se suele situar su nacimiento hacia 570 a. C. en la isla de Samos y su muerte hacia 490 a. C. La abreviatura «a. C.» significa «antes de Cristo» y se utiliza para fechar acontecimientos antiguos. Más adelante vivió en Crotona, una ciudad griega del sur de la actual Italia.

Estas fechas son aproximadas. La Enciclopedia de Filosofía de Stanford explica que no conservamos escritos suyos y que los relatos extensos sobre él son posteriores. Por eso no debemos tratar cada anécdota como si fuera una noticia comprobada.

Una escuela con ideas y normas propias

En Crotona reunió seguidores. Su comunidad combinaba una manera de vivir, creencias religiosas y reflexión sobre el mundo. No era una escuela primaria con cursos y horarios como los actuales. Los pitagóricos dieron importancia a los números y, con el tiempo, algunos desarrollaron investigaciones matemáticas y musicales.

El archivo histórico de la Universidad de St Andrews advierte que es difícil separar las aportaciones de Pitágoras de las de sus seguidores. También recuerda que la relación entre ciertos lados de un triángulo ya era conocida en la matemática babilónica mucho antes. Llevar su nombre no significa que él inventara todo ese conocimiento.

En la India, los antiguos textos llamados Sulbasutras también contienen reglas relacionadas con esta igualdad, utilizadas para trazar altares. La historia de los Sulbasutras publicada por St Andrews muestra otra tradición matemática que conviene conocer.

¿Qué dice el teorema?

Se aplica a los triángulos rectángulos: los que tienen un ángulo recto, de 90 grados, como la esquina de una hoja rectangular.

• Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos.
• El lado situado enfrente de ese ángulo se llama hipotenusa. Es el más largo.

Si llamamos a y b a los catetos, y c a la hipotenusa, la relación es a² + b² = c². El pequeño 2 significa elevar al cuadrado: 3² es 3 × 3, no 3 × 2.

También podemos pensar en áreas. Dibuja un cuadrado sobre cada lado: el área del cuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de las áreas de los otros dos. Esta relación habla de cuadrados de longitudes, no de sumar directamente los tres lados.

Un ejemplo paso a paso

Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. Buscamos la hipotenusa:

1. Calculamos los cuadrados: 3 × 3 = 9 y 4 × 4 = 16.
2. Sumamos: 9 + 16 = 25. Por tanto, c² = 25.
3. Buscamos la longitud positiva cuyo cuadrado sea 25: 5 × 5 = 25. La hipotenusa mide 5 cm.

Los cuadrados tendrían áreas de 9 cm², 16 cm² y 25 cm². La hipotenusa mide 5 cm, no 25 cm: no confundas la longitud de un lado con el área de su cuadrado.

Actividad: comprueba dos propuestas

Una tarjeta propone un triángulo rectángulo con catetos de 6 cm y 8 cm e hipotenusa de 10 cm. Otra propone catetos de 4 cm y 5 cm e hipotenusa de 6 cm. Comprueba si las medidas de cada tarjeta cumplen la igualdad.

Primera tarjeta: 6² + 8² = 36 + 64 = 100; 10² = 100. Las medidas cumplen el teorema.

Segunda tarjeta: 4² + 5² = 16 + 25 = 41; 6² = 36. Como 41 no es 36, esas tres medidas no corresponden al triángulo rectángulo descrito. No basta con que el dibujo parezca tener una esquina recta.

Cinco preguntas con respuesta

1. ¿En qué isla nació Pitágoras? En Samos, según la cronología habitual.
2. ¿Son exactas todas las noticias sobre su vida? No; muchas proceden de relatos tardíos.
3. ¿Su comunidad se dedicaba únicamente a calcular? No; también tenía creencias y normas de vida.
4. ¿A qué triángulos se aplica el teorema? A los rectángulos.
5. ¿Qué lado es c en la fórmula? La hipotenusa, situada frente al ángulo recto.

Tres ideas para recordar

• Distingue los datos históricos de las atribuciones.
• Identifica el ángulo recto antes de usar la fórmula.
• Elevar al cuadrado significa multiplicar un número por sí mismo.

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