¿Se puede encontrar una longitud sin medirla directamente? En algunas figuras, sí. El teorema de Tales relaciona segmentos que aparecen cuando varias rectas paralelas cortan otras dos rectas. Para usarlo necesitamos reconocer qué medidas se corresponden y trabajar con proporciones.

Antes de empezar, recuerda una idea: dos razones son iguales cuando expresan la misma relación. Por ejemplo, 3/6 y 5/10 valen un medio. Los números cambian, pero la comparación se mantiene. Si todavía estás aprendiendo fracciones, puedes seguir los ejemplos pensando en «el doble» o «la mitad».

La condición que hay que comprobar

Imagina tres rectas paralelas, como tres líneas de un cuaderno. Otras dos rectas las atraviesan. En la primera recta que las corta, llamamos A, B y C a los puntos de encuentro, en ese orden. En la segunda, los puntos correspondientes son D, E y F.

El teorema permite escribir AB/BC = DE/EF. AB y DE están entre las dos primeras paralelas. BC y EF están entre la segunda y la tercera. Es esencial conservar esas parejas: no se pueden mezclar segmentos porque sus números resulten cómodos.

Una figura que solo parece tener líneas paralelas no basta. El enunciado debe indicarlo o la construcción debe garantizarlo. El dibujo ayuda a pensar, pero medir una ilustración a ojo no sustituye esa condición.

Primer ejemplo: buscar el doble

Supongamos que las tres líneas son paralelas y sabemos lo siguiente: AB mide 3 cm, BC mide 6 cm y DE mide 4 cm. Queremos calcular EF.

En la primera recta, el segundo tramo es el doble del primero: 6 = 2 × 3. En la otra debe conservarse la misma relación. Por eso, EF = 2 × 4 = 8 cm.

Comprobamos el resultado: 3/6 = 4/8 = 1/2. Las dos comparaciones coinciden. La respuesta incluye centímetros porque hemos calculado una longitud.

Otra forma: un triángulo cortado por una paralela

Ahora piensa en un triángulo ABC. D está en el lado AB y E en el lado AC. El segmento DE es paralelo a BC. El triángulo pequeño ADE y el grande ABC tienen lados correspondientes proporcionales: AD/AB = AE/AC.

Si AD mide 2 cm, AB mide 6 cm y AC mide 9 cm, el pequeño ocupa un tercio del lado correspondiente del grande. Entonces AE mide 3 cm, porque 9 ÷ 3 = 3. La comprobación es 2/6 = 3/9.

Atención a los nombres: AB es el lado completo; DB es solo la parte que queda después de D. En este ejemplo, DB mide 4 cm. Confundir el lado entero con uno de sus tramos cambia el problema.

Actividad resuelta: tres comprobaciones

En los dos primeros ejercicios, tres paralelas cortan dos rectas con los puntos A, B, C y D, E, F ordenados como antes.

1. AB = 5 cm, BC = 10 cm y DE = 7 cm. ¿Cuánto mide EF?
2. AB = 4 cm, BC = 6 cm y DE = 8 cm. ¿Cuánto mide EF?
3. Un dibujo no indica si las tres líneas son paralelas. ¿Puedes aplicar directamente este teorema?

Soluciones

1. EF = 14 cm. El segundo tramo es el doble: 5/10 = 7/14.

2. EF = 12 cm. En la segunda recta, DE es el doble de AB; EF debe ser el doble de BC. Verificación: 4/6 = 8/12.

3. No todavía. Falta comprobar la condición de paralelismo. Una proporción no se justifica únicamente porque el dibujo se vea parecido.

Antes de entregar un ejercicio, revisa tres cosas: paralelas confirmadas, segmentos bien emparejados y una igualdad de razones que compruebe tu resultado.

Cinco preguntas con respuesta

1. ¿Qué condición necesitan las líneas que cortan las dos rectas?

   Deben ser paralelas entre sí.

2. ¿Qué segmento corresponde a AB en el primer esquema descrito?

   DE, porque ambos quedan entre las dos primeras paralelas.

3. Si un tramo pasa de 5 a 10 cm, ¿por cuánto se multiplica?

   Por dos.

4. En el ejemplo del triángulo, ¿cuánto mide AE?

   3 cm, pues representa un tercio de los 9 cm de AC.

5. ¿AB y DB representan siempre la misma longitud?

   No. En la construcción descrita, AB es el lado completo y DB es uno de sus tramos.

Fuentes consultadas

• Proyecto Descartes: teorema de Tales y semejanza
• Proyecto Descartes, EDAD: semejanza