Propiedades de los cuadriláteros: clasificación, paralelismo, diagonales y ejercicios

Un cuadrilátero es una figura plana cerrada con cuatro lados rectos. Un cuadrado, un rombo y un trapecio son cuadriláteros, aunque se vean muy diferentes. Para clasificarlos es mejor observar qué lados son paralelos, cuáles miden lo mismo y qué pasa con sus diagonales, en lugar de fijarse en si el dibujo está derecho o inclinado.

Qué tienen todos los cuadriláteros

• 4 lados que son segmentos.
• 4 vértices, donde se unen lados consecutivos.
• 4 ángulos interiores, cuya suma es 360° si el cuadrilátero es simple, como los que estudiaremos.
• 2 diagonales que unen pares de vértices opuestos.

Hay cuadriláteros convexos, cuyas diagonales quedan dentro de la figura, y cóncavos, que tienen una «entrante». Aquí clasificaremos principalmente los convexos, como se hace en las primeras lecciones escolares.

Dos lados paralelos: ¿qué significa?

Dos rectas del mismo plano son paralelas cuando no se cortan, aunque se prolonguen. En un cuadrilátero, miramos lados opuestos. Un par de lados opuestos puede ser paralelo; también pueden serlo los dos pares o ninguno. Los lados que se encuentran en un mismo vértice no forman un par de lados opuestos.

Cuadro de clasificación: dos convenciones de trapecio

Antes de usar estos nombres conviene acordar una convención. En este artículo, trapecio significa «cuadrilátero con exactamente un par de lados opuestos paralelos» (convención exclusiva). Algunos libros usan la convención inclusiva: trapecio tiene al menos un par de lados paralelos, de modo que los paralelogramos también cuentan como trapecios. Ninguna de las dos definiciones debe imponerse sin avisar; revisa la que usa tu escuela.

Atención al país: «trapezoide» no tiene un uso escolar universal: en otros sistemas educativos los nombres trapecio y trapezoide se emplean de otro modo. Por eso el dato que nunca falla es el número de pares paralelos, no solo la etiqueta.

La familia de los paralelogramos

Todos los paralelogramos tienen sus lados opuestos paralelos e iguales en longitud. También tienen ángulos opuestos iguales, ángulos consecutivos que suman 180° y diagonales que se cortan en sus puntos medios.

Un cuadrado también es rectángulo y rombo. Es rectángulo porque tiene cuatro ángulos rectos, y rombo porque tiene cuatro lados iguales. No son cajas separadas: las categorías matemáticas se pueden contener unas a otras. En algunos libros «romboide» designa de forma más amplia cualquier paralelogramo oblicuo, así que importa la definición declarada.

Trapecios y diagonales

Un trapecio isósceles, con la convención exclusiva, tiene un solo par de lados paralelos (las bases) y los otros dos lados iguales. Sus ángulos junto a cada base coinciden y sus diagonales tienen la misma longitud. Un trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos. Un trapecio escaleno no cumple esas igualdades especiales. En general, las diagonales de un trapecio no se bisecan.

Cómo clasificar sin equivocarse

1. Comprueba que la figura está cerrada y tiene cuatro lados rectos.
2. Busca pares de lados opuestos paralelos.
3. Si hay dos pares, es paralelogramo: mira ángulos rectos y lados iguales para precisar la subclase.
4. Si hay uno, con la convención exclusiva es trapecio.
5. Si no hay ninguno, con la terminología aquí indicada es trapezoide.

Ejemplo 1. Una figura tiene cuatro ángulos rectos y lados consecutivos de 4 y 7 cm. Es un rectángulo, no un cuadrado; tiene dos pares de lados paralelos.

Ejemplo 2. Una figura tiene cuatro lados de 5 cm y dos ángulos de 60°. Es un rombo no cuadrado: sus otros ángulos son de 120°, no de 90°.

Ejemplo 3. Si una figura tiene un solo par de lados opuestos paralelos y uno de los otros lados es perpendicular a las bases, es un trapecio rectángulo según la convención exclusiva.

Siete ejercicios y soluciones

1. ¿Cuántos lados, vértices y diagonales tiene cualquier cuadrilátero simple?
2. ¿Cuánto suman sus ángulos interiores?
3. ¿Es todo cuadrado un rectángulo? ¿Y todo rectángulo un cuadrado?
4. ¿Cuántos pares de lados paralelos tiene un rombo?
5. Un paralelogramo tiene dos ángulos consecutivos de 65° y x°. Halla x.
6. Un cuadrilátero tiene un solo par de lados paralelos. ¿Cómo lo llamas con la convención exclusiva?
7. Dos diagonales de un cuadrilátero se cortan en sus puntos medios. ¿Qué familia es, si el cuadrilátero es simple?

Respuestas comprobadas

1. 4 lados, 4 vértices y 2 diagonales.
2. 360°, porque puede dividirse en dos triángulos de 180° cada uno.
3. Sí, porque tiene cuatro ángulos rectos; no a la inversa, porque un rectángulo puede tener lados adyacentes distintos.
4. Dos, como todo paralelogramo.
5. 115°, porque 180° − 65° = 115°.
6. Trapecio. Con la convención inclusiva también lo es, pero la diferencia entre convenciones aparece con dos pares paralelos.
7. Es un paralelogramo; que las diagonales se bisecan es también un criterio suficiente para esa familia de cuadriláteros simples.

Resumen para estudiar

Para reconocer cuadriláteros, cuenta primero pares de lados opuestos paralelos. Dos indican paralelogramo, uno indica trapecio con la convención exclusiva y ninguno corresponde aquí a trapezoide. Después comprueba ángulos y longitudes. Un cuadrado pertenece a la vez a varias subfamilias; dibujar una figura inclinada no cambia su nombre.

Lecturas relacionadas: figuras planas y área del rombo. Referencias sobre definiciones: Illustrative Mathematics, «What is a Trapezoid?» y OpenStax, cuadriláteros. Clasificación, ejemplos y actividades originales de Aureliano Vargas.