Dos ritmos que empiezan en momentos distintos: ¿llegarán a coincidir?

Dos reglas para marcar el tiempo

Usaremos un tiempo imaginario dividido en unidades iguales. No son minutos reales de una canción: sirven para comparar marcas.

El ritmo A empieza en 0 y se repite cada 4 unidades. Sus marcas son 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 y 36. El ritmo B se repite cada 6 unidades, pero cambiaremos su primera marca. Cuando dos marcas caen en el mismo número, diremos que los ritmos coinciden.

Puedes usar dos tiras de papel paralelas, con números del 0 al 36, y poner una ficha sobre cada marca. Así no hay que adivinar cuándo coinciden.

Caso 1: los dos empiezan en cero

Si B empieza en 0, marca 0, 6, 12, 18, 24, 30 y 36. Comparando las dos tiras, aparecen encuentros en 0, 12, 24 y 36. Como comenzaron juntos, el mínimo común múltiplo de 4 y 6, que es 12, ayuda a encontrar las siguientes coincidencias.

Aquí el MCM resulta útil, pero no responde por sí solo a los otros casos.

Caso 2: el segundo ritmo empieza en uno

Ahora B toca por primera vez en 1, y continúa en 7, 13, 19, 25 y 31. No hay coincidencias entre 0 y 36. ¿Podrían encontrarse en 40, 60 o mucho después?

No. El ritmo A siempre aparece en un número par, porque avanza de cuatro en cuatro desde cero. El ritmo B, que empezó en 1, siempre aparece en un número impar, porque sumar seis conserva esa condición. Ningún número puede ser par e impar al mismo tiempo. Esta explicación demuestra que no coincidirán nunca, no solamente que faltó espacio en la tira.

Caso 3: el segundo ritmo empieza en dos

Con primera marca en 2, B continúa en 8, 14, 20, 26 y 32. En las dos bandas aparecen ahora tres encuentros: 8, 20 y 32. Vuelven a separarse por 12 unidades, pero el primer encuentro no ocurre en 0 ni en 12.

La diferencia con el caso anterior está solo en el inicio. Por eso no basta decir «cada cuatro y cada seis coinciden cada doce»: antes debemos comprobar si existe un primer encuentro.

Cómo resolver otros ejemplos sin confundirse

Primero escribe la marca inicial de cada ritmo. Después suma siempre el mismo intervalo dentro de cada tira. Compara los números que aparecen en ambas. Si encuentras una coincidencia, puedes buscar la siguiente. Si no encuentras ninguna, no concluyas «nunca» solo por haber llegado al final del papel: busca una razón, como la diferencia entre pares e impares.

Cuando los intervalos son otros, una búsqueda sobre tiras cortas puede no mostrar un encuentro que ocurre más tarde. Para este ejercicio, los tres casos de inicio se pueden justificar por completo con las marcas y la paridad explicada.

Actividad: ¿qué cambia al mover una sola ficha?

Mantén A empezando en 0, con intervalo 4. Cambia el inicio de B de 1 a 2 y vuelve a marcar cada seis unidades. ¿Qué marcas quedan ahora compartidas entre 0 y 36?

Respuesta: 8, 20 y 32. En el inicio 1 no había encuentros, porque las marcas de B eran impares; con inicio 2, B pasa a marcar números pares y sí hay coincidencias concretas.

Descarga las tiras de ritmos y tres casos para resolver. El solucionario con las dos bandas comprobadas explica también por qué en uno de los casos no habrá encuentros posteriores.