Mínimo común múltiplo: cómo calcularlo con ejemplos y ejercicios
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El mínimo común múltiplo, o MCM, de dos o más números naturales positivos es el número positivo más pequeño que es múltiplo de todos ellos. Por ejemplo, sirve para averiguar cuándo vuelven a coincidir dos hechos que se repiten cada cierto tiempo.
Un múltiplo de 4 se obtiene al multiplicar 4 por un número natural: 4, 8, 12, 16… Aunque 0 también es múltiplo, no cuenta como respuesta al MCM, porque buscamos el menor múltiplo común positivo.
Índice
Método 1: escribir listas de múltiplos
Para encontrar el MCM de 6 y 8, escribe algunos múltiplos positivos de cada número:
- De 6: 6, 12, 18, 24, 30…
- De 8: 8, 16, 24, 32…
El primer número que aparece en las dos listas es 24. Por tanto, MCM(6, 8) = 24. Este método es práctico cuando los números son pequeños y las listas no se hacen demasiado largas.
Método 2: descomponer en factores primos
Un número primo es mayor que 1 y tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Para calcular el MCM de 12 y 18, descomponemos ambos números en multiplicaciones de primos:
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3.
- 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3².
Tomamos cada primo que aparece y la mayor cantidad de veces que se repite en cualquiera de las descomposiciones: dos factores 2 y dos factores 3. Así, 2 × 2 × 3 × 3 = 36. Entonces, MCM(12, 18) = 36.
Este método es útil cuando hay números más grandes o tres números a la vez. Puedes escribir los factores repetidos sin utilizar potencias si te resulta más claro.
Un caso fácil: cuando un número divide al otro
Si buscas el MCM de 5 y 20, la respuesta es 20, porque 20 es múltiplo tanto de 5 como de 20. No necesitas seguir escribiendo listas.
No confundas MCM con MCD: el MCM busca el menor múltiplo común positivo; el máximo común divisor (MCD) busca el mayor divisor positivo que comparten dos números.
Ocho ejercicios para resolver
Intenta primero los cálculos. En los dos problemas de tiempo, recuerda buscar la primera coincidencia después del momento inicial.
- Calcula el MCM de 4 y 6 mediante listas.
- Calcula el MCM de 7 y 21. ¿Qué observas?
- Calcula el MCM de 9 y 15 usando factores primos.
- Calcula el MCM de 8 y 18 usando factores primos.
- Calcula el MCM de 10, 15 y 25.
- Calcula el MCM de 12, 16 y 18.
- En una pantalla, una estrella aparece cada 6 segundos y un círculo cada 9 segundos. Ambos aparecen juntos en el segundo 0. ¿Después de cuántos segundos vuelven a coincidir por primera vez?
- Dos avisos se muestran cada 8 y 12 minutos, respectivamente. Hoy aparecieron juntos a las 10:00. ¿A qué hora vuelven a aparecer juntos por primera vez?
Soluciones explicadas
- 12. Múltiplos de 4: 4, 8, 12…; de 6: 6, 12… El primero común positivo es 12.
- 21. Los múltiplos de 21 ya son múltiplos de 7, pues 21 = 7 × 3. El menor múltiplo positivo de 21 es 21.
- 45. 9 = 3 × 3 y 15 = 3 × 5. Usamos dos factores 3 y un 5: 3 × 3 × 5 = 45.
- 72. 8 = 2 × 2 × 2 y 18 = 2 × 3 × 3. Conservamos tres factores 2 y dos factores 3: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72.
- 150. 10 = 2 × 5; 15 = 3 × 5; 25 = 5 × 5. Tomamos un 2, un 3 y dos 5: 2 × 3 × 5 × 5 = 150.
- 144. 12 = 2 × 2 × 3; 16 = 2 × 2 × 2 × 2; 18 = 2 × 3 × 3. Tomamos cuatro 2 y dos 3: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 144.
- 18 segundos. Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18… y los de 9 son 9, 18… Su MCM es 18. El segundo 0 es la coincidencia inicial, no la siguiente.
- 10:24. 8 = 2 × 2 × 2 y 12 = 2 × 2 × 3. Tomamos tres 2 y un 3: 2 × 2 × 2 × 3 = 24 minutos. A las 10:00 les sumamos 24 minutos: 10:24.
Resumen en tres ideas
- El MCM es el múltiplo común positivo más pequeño; nunca respondas 0.
- Con números pequeños puedes listar múltiplos; para otros casos puedes usar factores primos con la mayor repetición de cada primo.
- Si dos acciones empiezan juntas y se repiten con intervalos fijos, el MCM indica cuándo coincidirán otra vez.
Autor: Aureliano Vargas. Los ejemplos, los ocho ejercicios y sus soluciones se redactaron para este recurso.