Por Aureliano Vargas
Cuando aprendemos a multiplicar y dividir, también podemos descubrir qué números tienen pocos divisores. Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. No hay que memorizar de golpe una lista larga: podemos comprobar los números pequeños con divisiones.
Índice
Primo, compuesto o ninguno de los dos
El 7 es primo porque solo puede dividirse exactamente entre 1 y 7. En cambio, 12 es compuesto: además de 1 y 12, tiene otros divisores, como 2, 3, 4 y 6. Los números compuestos mayores que 1 pueden expresarse como producto de otros números naturales mayores que 1; por ejemplo, 12 = 3 × 4.
El número 1 no es primo ni compuesto, porque solo tiene un divisor positivo: el propio 1. El 0 tampoco se clasifica como primo ni como compuesto. Esta distinción evita el error de incluir al 1 en una lista de primos.
Ejemplos que conviene conocer
Entre 1 y 20, los números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. El 2 es especial: es el único primo par. Cualquier número par mayor que 2 puede dividirse entre 2 y, además, entre 1 y él mismo; por eso es compuesto.
Que un número sea impar no garantiza que sea primo. El 9 es impar, pero 9 = 3 × 3. El 15 también es impar y 15 = 3 × 5. La pregunta correcta no es «¿es par o impar?», sino «¿tiene algún divisor positivo diferente de 1 y de sí mismo?».
Cómo comprobar un número paso a paso
Probemos el 29. No termina en cifra par, así que no es divisible entre 2. La suma de sus cifras es 2 + 9 = 11, que no es múltiplo de 3. No termina en 0 ni en 5, así que tampoco es divisible entre 5. Para números pequeños, basta seguir revisando posibles divisores hasta la raíz cuadrada aproximada del número: como 5 × 5 = 25 y 6 × 6 = 36, la raíz de 29 está entre 5 y 6. No necesitamos probar divisores mayores que 5. Como 29 no se divide exactamente entre 2, 3 ni 5, 29 es primo.
¿Por qué funciona ese límite? Si un número se pudiera escribir como producto de dos enteros mayores que 1, al menos uno de esos factores sería menor o igual que su raíz cuadrada. Para primaria basta con aplicar la idea a ejemplos sencillos, sin realizar cálculos avanzados.
¿Para qué sirve buscar factores?
Imagina 21 fichas. ¿Puedes ordenarlas en filas iguales que no sean una sola fila de 21 ni 21 filas de una ficha? Sí: 3 filas de 7. Por eso 21 es compuesto. En cambio, con 13 fichas no podemos formar un rectángulo de filas y columnas enteras con ambas cantidades mayores que 1. Esa observación ayuda a entender los divisores, aunque no sustituye todas las comprobaciones para números grandes.
Ejercicios graduados
- Clasifica 1, 2, 4 y 5 como primo, compuesto o ninguno.
- Escribe los números primos del 10 al 20, incluidos ambos extremos.
- ¿Es primo el 9? Muestra una multiplicación que justifique tu respuesta.
- Decide si 31 es primo; comprueba los divisores necesarios.
- ¿Por qué 35 y 49 son compuestos aunque sean impares?
- Una niña afirma: «Todos los impares son primos». ¿Qué ejemplo la contradice?
Soluciones razonadas
- 1: ninguno; 2: primo; 4: compuesto porque 4 = 2 × 2; 5: primo.
- 11, 13, 17 y 19. Los demás entre 10 y 20 tienen divisores adicionales.
- No. 9 = 3 × 3; por tanto, tiene el divisor 3 además de 1 y 9.
- Sí. Basta probar 2, 3 y 5 porque 5 × 5 es menor que 31 y 6 × 6 lo supera. Ninguno divide 31 exactamente.
- 35 = 5 × 7 y 49 = 7 × 7; ambos poseen otros divisores.
- 9 o 15 sirven como contraejemplos: son impares y compuestos.
Para continuar practicando, elige cualquier número entre 2 y 30, busca divisores posibles y anota la operación que demuestra tu respuesta. Decir solo «es primo» no enseña tanto como mostrar por qué.