El máximo común divisor, o MCD, de varios números naturales positivos es el mayor número que los divide a todos sin dejar resto. Sirve, por ejemplo, para formar la mayor cantidad posible de paquetes iguales utilizando todos los objetos disponibles.

La Red Educativa Digital Descartes explica esta definición. Aquí trabajaremos con cantidades mayores que cero y con ejemplos propios.

Primero: encontrar divisores

Un divisor de 24 es un número que permite repartir 24 exactamente. El 6 lo es porque 24 ÷ 6 = 4. El 5 no lo es: cuatro grupos de 5 suman 20 y sobran 4 unidades.

Para buscar el MCD de 24 y 36, anotamos sus divisores positivos:

• 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.

Los comunes son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. El mayor es 12; por tanto, MCD(24, 36) = 12. No elegimos 24 solo por ser grande: también tendría que dividir exactamente a 36.

Otro método: factores primos

Descomponemos cada cantidad en multiplicaciones de números primos. Después usamos únicamente los factores que comparten, con la menor cantidad de repeticiones. Es el procedimiento por factores explicado en el recurso educativo.

Probemos con 18 y 30:

• 18 = 2 × 3 × 3.
• 30 = 2 × 3 × 5.

Ambos tienen un factor 2 y un factor 3. El segundo 3 de 18 no está en 30; el 5 de 30 no está en 18. Por eso tomamos 2 × 3 = 6. Comprobamos: 18 ÷ 6 = 3 y 30 ÷ 6 = 5.

Un reparto con una condición importante

Tenemos 24 tarjetas rojas y 36 azules. Queremos preparar el mayor número de sobres iguales. Cada sobre debe llevar la misma cantidad de rojas y la misma cantidad de azules; no puede sobrar ninguna.

El número de sobres debe dividir tanto a 24 como a 36. Ya sabemos que su MCD es 12: podemos preparar 12 sobres, cada uno con 24 ÷ 12 = 2 rojas y 36 ÷ 12 = 3 azules.

Podríamos preparar seis sobres, con cuatro rojas y seis azules en cada uno. Serían iguales, pero no serían la mayor cantidad posible. La palabra «máximo» cambia lo que pide el problema.

Practica con cinco cálculos

1. Halla el MCD de 16 y 24.
2. Halla el MCD de 20 y 28.
3. Halla el MCD de 9 y 16.
4. Halla el MCD de 8 y 40.
5. Halla el MCD de 12, 18 y 30.

Soluciones explicadas

1. 8. Los divisores comunes son 1, 2, 4 y 8. El mayor es 8.
2. 4. 20 = 2 × 2 × 5 y 28 = 2 × 2 × 7. Comparten dos factores 2: 2 × 2 = 4.
3. 1. No comparten otro divisor positivo. Se llaman primos entre sí, aunque ninguno de los dos sea un número primo.
4. 8. El menor de los dos números divide al mayor: 40 ÷ 8 = 5. Ningún divisor positivo de 8 puede superar 8.
5. 6. Los tres comparten un factor 2 y un factor 3. Las divisiones 12 ÷ 6, 18 ÷ 6 y 30 ÷ 6 dan 2, 3 y 5.

Cinco preguntas con respuesta

1. ¿Qué significa la D de MCD? Divisor.
2. ¿Puede quedar resto al dividir por un divisor común? No.
3. ¿Elegimos el menor o el mayor divisor común? El mayor.
4. ¿Puede el MCD ser 1? Sí, como ocurre con 9 y 16.
5. ¿Por qué seis sobres no resuelven el problema planteado? Porque se pueden preparar doce y se pide la mayor cantidad.

Antes de entregar un resultado, divide cada cantidad entre tu candidato. Luego comprueba, mediante las listas o los factores, que no exista otro divisor común mayor. Las dos revisiones son necesarias.