La propiedad distributiva permite multiplicar una suma o una resta multiplicando cada término por el mismo número. Después se suman o se restan los productos. Las dos maneras de calcular dan el mismo resultado.

Con letras se escribe a × (b + c) = a × b + a × c. Con una resta: a × (b − c) = a × b − a × c. ^[1]

Un ejemplo con cuatro cajas

En cada caja hay 6 lápices rojos y 3 azules. Como las cuatro cajas contienen lo mismo, podemos averiguar el total de dos maneras.

1. Cuenta primero los lápices de una caja: 6 + 3 = 9. Después multiplica: 4 × 9 = 36.
2. Cuenta todos los rojos: 4 × 6 = 24. Cuenta todos los azules: 4 × 3 = 12. Finalmente suma: 24 + 12 = 36.

Por tanto, 4 × (6 + 3) = 4 × 6 + 4 × 3 = 36. No hemos añadido lápices ni quitado cajas: hemos organizado la cuenta de otra forma.

También funciona con una resta

Hay 5 sobres con 9 pegatinas cada uno. De cada sobre se retiran 2. ¿Cuántas quedan?

Primero puedes calcular lo que queda en un sobre: 9 − 2 = 7. En cinco sobres habrá 5 × 7 = 35 pegatinas.

La otra forma es contar las iniciales, 5 × 9 = 45, y retirar las que salieron, 5 × 2 = 10. Quedan 45 − 10 = 35. La cuenta completa es 5 × (9 − 2) = 5 × 9 − 5 × 2 = 35.

La palabra «cada» cambia el problema: hemos quitado diez pegatinas en total, no solamente dos.

Úsala para calcular de cabeza

Para resolver 7 × 18, puedes pensar que 18 es 20 − 2. Entonces calculas 7 × 20 − 7 × 2 = 140 − 14 = 126.

También puedes separar 18 en 10 + 8: 7 × 10 + 7 × 8 = 70 + 56 = 126. Elige la separación que te resulte más cómoda. No hay una única descomposición posible.

El error de multiplicar solo una parte

Una alumna escribe: 3 × (8 + 4) = 24 + 4 = 28. ¿Qué pasó? Multiplicó el 8 por 3, pero dejó el 4 sin multiplicar.

La corrección es 3 × 8 + 3 × 4 = 24 + 12 = 36. Puedes comprobarla resolviendo primero el paréntesis: 8 + 4 = 12 y 3 × 12 = 36.

Recorre el camino al revés

Imagina dos equipos: uno prepara 6 bolsas de 4 fichas y otro prepara 6 bolsas de 5 fichas. La cuenta es 6 × 4 + 6 × 5. Como se repite el factor 6, puedes escribir 6 × (4 + 5) = 54.

Ahora compara con 6 × 4 + 3 × 5. Aquí los dos productos no tienen el mismo factor inicial: no puedes convertirlos directamente en 6 × (4 + 5). Calcula 24 + 15 = 39 para comprobar la diferencia. Antes de agrupar, identifica qué número se repite realmente.

Sí puedes expresar esa segunda cuenta como 3 × (8 + 5) = 39, porque 6 × 4 equivale a 3 × 8. Un factor común no siempre se ve a primera vista.

Actividad resuelta

Intenta completar estas cuentas antes de leer las soluciones:

1. 6 × (10 + 4).
2. 8 × (20 − 1).
3. 5 × 7 + 5 × 3, agrupando primero el factor que se repite.

Soluciones: 1) 60 + 24 = 84. 2) 160 − 8 = 152. 3) 5 × (7 + 3) = 5 × 10 = 50. En la tercera cuenta, el factor común es 5.

Para revisar tu trabajo, señala los términos dentro del paréntesis y comprueba que el número exterior multiplicó a todos. Después calcula por el camino alternativo: si ambos resultados coinciden, tendrás una comprobación concreta.

Preguntas y respuestas

1. ¿Qué se multiplica al aplicar esta propiedad? Cada término del paréntesis se multiplica por el número exterior.

2. ¿Cuántos lápices había en las cuatro cajas? 36: 24 rojos y 12 azules.

3. ¿Cuántas pegatinas se retiraron de los cinco sobres? 10, porque se quitaron 2 de cada uno.

4. ¿Cuánto es 7 × 18? 126; una forma de calcularlo es 140 − 14.

5. ¿Cuál era el error en 3 × (8 + 4)? Faltaba multiplicar también el 4 por 3.

Fuentes consultadas

1. SEP, Aprende en Casa: propiedad distributiva.