Si juntas siete fichas y después doce, tendrás diecinueve. Si juntas primero doce y después siete, obtendrás la misma cantidad. Esta posibilidad de intercambiar el orden sin cambiar el resultado se llama propiedad conmutativa. Se cumple en la suma y en la multiplicación de los números que usamos habitualmente.

Dos operaciones que permiten intercambiar

En una suma, los números que sumamos son los sumandos. Podemos escribir 7 + 12 = 12 + 7 = 19.

En una multiplicación, los números que multiplicamos son los factores. Por ejemplo, 6 × 4 = 4 × 6 = 24. Podemos pensar en seis grupos de cuatro elementos o en cuatro grupos de seis: los grupos cambian, pero el total coincide.

La explicación de SEP sobre estas propiedades distingue el cambio de orden del cambio de agrupación. En letras: a + b = b + a y a × b = b × a.

Dos ejemplos más

• Con decimales: 1,2 + 0,8 = 0,8 + 1,2 = 2.
• Con cero: 3 × 0 = 0 × 3 = 0.

No estamos cambiando los números ni la operación. Solo intercambiamos sus posiciones. Si en lugar de 6 × 4 escribimos 4 + 6, hemos cambiado la operación y ya no estamos aplicando esta propiedad.

En la resta y la división, el orden importa

9 − 4 = 5, pero 4 − 9 = −5. El segundo resultado queda cinco unidades por debajo de cero. Como 5 y −5 no son iguales, la resta no es conmutativa.

12 ÷ 3 = 4, pero 3 ÷ 12 = 1/4. Tampoco coincide el resultado al invertir una división. Basta encontrar un contraejemplo para descartar una regla que pretendía funcionar siempre.

No la confundas con la asociativa

En (2 + 8) + 5 = 2 + (8 + 5), los números siguen en el mismo orden. Cambia qué suma hacemos primero: eso es la propiedad asociativa. Los dos lados valen 15.

Una forma de distinguirlas es preguntar: «¿Se intercambiaron posiciones o se movieron los paréntesis?». En cálculos más largos podemos utilizar ambas, pero conviene reconocer cada paso.

Diez ejercicios resueltos

1. Intercambia y calcula 18 + 7. Escribimos 7 + 18. Ambas sumas dan 25.
2. Intercambia y calcula 9 × 6. Escribimos 6 × 9. Ambos productos dan 54.
3. Completa por conmutatividad: 23 + □ = 15 + 23. Falta 15; los dos lados valen 38.
4. Completa: □ × 8 = 8 × 7. Falta 7; 7 × 8 y 8 × 7 valen 56.
5. ¿5 + 14 = 14 + 5 aplica la propiedad? Sí: se intercambian sumandos y ambos resultados son 19.
6. ¿20 − 6 = 6 − 20 es correcto? No. 20 − 6 = 14; 6 − 20 = −14.
7. ¿8 ÷ 2 = 2 ÷ 8 es correcto? No. El primer cociente es 4; el segundo, 1/4.
8. Una cuadrícula tiene tres filas de siete casillas. ¿Y si la giras un cuarto de vuelta? Pasas de 3 × 7 a 7 × 3. Hay 21 casillas en ambos casos.
9. ¿Qué propiedad aparece en (4 + 6) + 9 = 4 + (6 + 9)? La asociativa. Cambia la agrupación; ambos lados valen 19.
10. Facilita 25 + 17 + 75. Intercambia 17 y 75: 25 + 75 + 17. Agrupa los dos primeros: (25 + 75) + 17 = 100 + 17 = 117. Usaste conmutativa y asociativa.

Actividad: igual total, distinto reparto

Compara dos pedidos de lápices: tres cajas con cuatro lápices cada una y cuatro cajas con tres lápices cada una. ¿Tienen igual cantidad de lápices? ¿Tienen igual cantidad de cajas?

Solución: los dos pedidos contienen 12 lápices, porque 3 × 4 = 4 × 3. Sin embargo, uno tiene tres cajas y el otro cuatro. La igualdad matemática del total no vuelve idéntica toda la situación.

Cinco preguntas con respuesta

1. ¿Qué cambia la conmutativa? El orden.
2. ¿Qué permanece? El resultado.
3. ¿Se aplica siempre a la resta? No.
4. ¿Se aplica siempre a la división? No.
5. ¿Qué cambia la asociativa? La agrupación.

Tres ideas para recordar

• Conserva números y operación al intercambiar.
• Comprueba los dos resultados cuando dudes.
• Distingue orden, agrupación y contexto del problema.

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