Sistemas de ecuaciones: sustitución y reducción con ejemplos resueltos

En algunos problemas aparecen dos cantidades desconocidas que deben cumplir dos condiciones al mismo tiempo. Por ejemplo: dos números suman 11 y, si duplicamos el primero y le agregamos el segundo, obtenemos 17. Para descubrirlos podemos usar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Esta explicación está pensada para estudiantes que ya saben operar con números enteros, despejar una incógnita y comprobar igualdades, como ocurre en los primeros cursos de educación secundaria.

Qué significa resolver un sistema

Escribimos las dos condiciones con las letras x e y:

x + y = 11
2x + y = 17

Las dos letras representan los mismos números en ambas ecuaciones. Resolver el sistema significa encontrar un par (x, y) que haga verdaderas las dos igualdades, no solo una.

Método 1: sustitución

La sustitución consiste en despejar una letra y usar su expresión en la otra ecuación. Veámoslo sin saltar pasos.

1. Partimos de x + y = 11. Despejamos y: y = 11 − x.
2. En la segunda ecuación, 2x + y = 17, reemplazamos y por 11 − x: 2x + (11 − x) = 17.
3. Reunimos términos: x + 11 = 17.
4. Restamos 11: x = 6.
5. Regresamos a y = 11 − x: y = 11 − 6 = 5.

Comprobación: 6 + 5 = 11 y 2 × 6 + 5 = 17. Ambas condiciones se cumplen. La solución es (6, 5).

Método 2: reducción o eliminación

Este método combina las ecuaciones para que una incógnita desaparezca. Usaremos el mismo sistema y comprobaremos que obtenemos la misma respuesta.

1. Escribimos x + y = 11 y debajo 2x + y = 17.
2. Restamos la primera ecuación de la segunda: (2x + y) − (x + y) = 17 − 11.
3. Los términos y se anulan: x = 6.
4. Sustituimos en x + y = 11: 6 + y = 11, así que y = 5.

Las dos ecuaciones quedaron satisfechas. La reducción no exige adivinar números: aprovecha que sumar o restar igualdades completas conserva una relación verdadera.

Segundo ejemplo: cuando hay que multiplicar una ecuación

Resolvamos ahora este sistema:

3x + 2y = 16
x − y = 2

Por sustitución

De x − y = 2 obtenemos x = y + 2. Reemplazamos en la primera: 3(y + 2) + 2y = 16. Distribuimos: 3y + 6 + 2y = 16. Sumamos términos: 5y + 6 = 16. Restamos 6 y dividimos entre 5: 5y = 10, entonces y = 2. Como x = y + 2, x = 4.

Por reducción

Multiplicamos toda la segunda ecuación por −3. De x − y = 2 pasamos a −3x + 3y = −6. La sumamos a 3x + 2y = 16. Desaparece x y queda 5y = 10, por lo que y = 2. En x − y = 2, obtenemos x = 4.

Comprobación del segundo ejemplo: 3 × 4 + 2 × 2 = 12 + 4 = 16; además, 4 − 2 = 2. La solución es (4, 2).

¿Cómo elegir el método?

Si una letra ya está sola o es sencillo despejarla, la sustitución suele ser cómoda. Si las ecuaciones tienen términos iguales u opuestos, la reducción puede ahorrar pasos. Cuando necesites multiplicar una ecuación, recuerda multiplicar todos los términos de ambos lados, no solo la incógnita.

Antes de dar una respuesta, sustituye siempre el par obtenido en las dos ecuaciones. Es la mejor manera de detectar errores de signo o de cálculo.

¿Y si no existe una sola solución?

No todos los sistemas tienen exactamente una solución. Las igualdades x + y = 5 y x + y = 7 no pueden cumplirse a la vez: ese sistema no tiene solución. En cambio, x + y = 5 y 2x + 2y = 10 expresan la misma condición de dos maneras; hay muchos pares que las satisfacen, como (1, 4) y (2, 3).

Ejercicios para practicar

1. Resuelve por reducción: x + y = 9 y x − y = 3.
2. Resuelve por sustitución: 2x + y = 13 y x + y = 8.
3. Una alumna afirma que (3, 2) resuelve el primer sistema de la lección. ¿Es verdad? Comprueba ambas ecuaciones.

Soluciones explicadas

1. Sumamos: 2x = 12, por lo que x = 6. Entonces y = 9 − 6 = 3. Comprobamos: 6 + 3 = 9 y 6 − 3 = 3.
2. De x + y = 8 despejamos y = 8 − x. Sustituimos: 2x + (8 − x) = 13, así que x = 5. Después y = 3. Comprobación: 2 × 5 + 3 = 13 y 5 + 3 = 8.
3. No. Aunque 3 + 2 = 5, en el primer sistema se exige 11; y 2 × 3 + 2 = 8, no 17. No satisface ninguna de las dos.

La clave es comprender que cada ecuación expresa una condición y que una solución solo es válida cuando las cumple todas.

Como apoyo adicional puede consultarse la lección de sistemas de ecuaciones del repositorio educativo de la Xunta de Galicia, que explica los métodos de sustitución y reducción con otros ejemplos.

Explicación y ejercicios originales: Aureliano Vargas.