El tablero al que le faltan dos esquinas: cuándo las fichas no pueden cubrirlo
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Índice
El reto de las fichas dobles
Partimos de un tablero cuadrado de ocho filas y ocho columnas. Si pintamos sus casillas alternando dos colores, obtenemos 32 claras y 32 oscuras. Cada ficha es un rectángulo que cubre exactamente dos casillas contiguas por un lado. Se puede colocar horizontal o verticalmente, pero no diagonalmente, ni sobre otra ficha, ni fuera del tablero.
Con las 64 casillas completas necesitaríamos 32 fichas. Si quitamos dos esquinas, quedan 62 casillas: el cálculo dice que serían 31 fichas. Pero contar el área no es suficiente para asegurar que pueden colocarse.
Un tablero que sí se puede cubrir
En el tablero A retiramos las dos esquinas de la fila superior: izquierda y derecha. Esas esquinas tienen colores diferentes. Quedan 31 casillas de cada color. ¿Hay una distribución real? Sí: coloca tres fichas horizontales en las seis casillas centrales de la primera fila; en cada una de las otras siete filas coloca cuatro fichas horizontales. Se usan 3 + 7 × 4 = 31 fichas y no queda ningún hueco.
En el PDF encontrarás el tablero sin solución para resolverlo y, al final, otro dibujo que muestra esa colocación. Es una respuesta que puede comprobarse casilla por casilla, no solo una afirmación.
Un tablero que no puede cubrirse
Ahora retiramos dos esquinas diagonalmente opuestas: la superior izquierda y la inferior derecha. En un tablero alternado de 8 × 8 esas dos casillas tienen el mismo color. Quedan 30 casillas de ese color y 32 del otro.
Observa cualquier ficha válida. Dos casillas que comparten un lado siempre tienen colores opuestos. Por eso cada ficha cubre una clara y una oscura. Si colocáramos 31 fichas, necesitaríamos 31 casillas de cada color; el tablero tiene 30 de una clase y 32 de la otra. Eso es imposible. Ninguna rotación ni cambio de orden corrige la diferencia.
Esta es una demostración por recuento: prueba que todas las colocaciones permitidas fracasarían, aunque no las hayamos intentado una por una. Es distinto de decir «lo probé y no encontré cómo».
Cómo jugar con los dos tableros
Imprime la ficha A4. Primero predice cuál de los dos tableros cubrirás. Trabaja con las fichas recortables de dos casillas, sin doblarlas y sin superponerlas. Intenta cubrir A; después usa lápices para alternar los colores en B y cuenta cuántas casillas quedan de cada uno. Si realizas la actividad con menores, conviene que una persona adulta supervise el recorte.
Una buena explicación incluye dos partes: «este tablero sí» acompañado de una colocación completa, y «este tablero no» acompañado de una razón que se aplique a todas las posibilidades.
Actividad con respuesta
Pregunta: una ficha horizontal ocupa dos casillas vecinas de la misma fila. ¿Podría cubrir dos casillas oscuras en un tablero alternado?
Respuesta: no. Las casillas vecinas por un lado siempre cambian de color. La misma regla se cumple para las fichas verticales. Esa observación permite justificar la imposibilidad del tablero B.
Descargar los dos tableros, 31 piezas recortables y soluciones (PDF A4).
Este reto es una versión didáctica original del conocido problema del tablero mutilado, explicado, entre otras fuentes, por Math Fun Facts de Harvey Mudd College. Los tableros imprimibles y la colocación del caso resoluble se han dibujado para esta actividad.
