Área de un polígono: cómo elegir la fórmula y resolver ejemplos

Explicación y ejercicios originales: Aureliano Vargas.

El área de un polígono indica cuánta superficie ocupa una figura plana cerrada cuyos lados son segmentos rectos. Si cubres un rectángulo con cuadrados de 1 cm de lado y cuentas cuántos caben sin dejar huecos ni superponerlos, estás midiendo un área en centímetros cuadrados (cm²).

No debe confundirse con el perímetro: el perímetro mide cuánto recorre el borde de la figura y utiliza unidades de longitud, como cm o m. Dos figuras pueden tener el mismo perímetro y áreas diferentes. Aquí aprenderás a elegir el procedimiento que corresponde a cada superficie.

1. Área de un rectángulo

Un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos. Si conocemos su base y su altura, ambas medidas perpendiculares, multiplicamos:

Área = base × altura.

Ejemplo: una cartulina rectangular mide 9 cm de base y 4 cm de altura. El área es 9 × 4 = 36 cm². Puedes imaginar cuatro filas de nueve cuadrados de 1 cm² cada una.

Si las medidas están en metros, el resultado estará en m². Antes de multiplicar, hay que usar la misma unidad para ambas longitudes.

2. Área de un triángulo

Un triángulo ocupa la mitad de un paralelogramo construido con la misma base y la misma altura. Por eso se calcula:

Área = (base × altura) ÷ 2.

La altura es la distancia perpendicular desde un vértice hasta la recta que contiene la base; no siempre coincide con uno de los lados inclinados.

Ejemplo: un triángulo tiene una base de 12 cm y una altura perpendicular de 5 cm. Multiplicamos 12 × 5 = 60 y dividimos entre dos: 30 cm². No usamos un lado oblicuo como si fuera la altura.

3. Área de un polígono regular con apotema conocida

Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos interiores iguales. En un polígono regular convexo, la apotema es la distancia perpendicular desde el centro hasta cualquiera de sus lados. Cuando conocemos esa medida, podemos dividir la figura en triángulos de igual altura y sumar sus áreas.

Área = (perímetro × apotema) ÷ 2.

En esta fórmula, el perímetro es la suma de todos los lados y las dos medidas deben expresarse en la misma unidad. No se aplica automáticamente a cualquier polígono irregular: allí puede no existir una apotema común que permita el mismo cálculo.

Ejemplo: un hexágono regular tiene seis lados de 6 cm. La apotema medida es aproximadamente 5,2 cm. Primero hallamos su perímetro: 6 × 6 = 36 cm. Después calculamos (36 × 5,2) ÷ 2 = 187,2 ÷ 2 = 93,6 cm² aproximadamente. Es un resultado aproximado porque la apotema se expresó redondeada.

4. Polígono irregular: descomponer una figura

Cuando no hay una fórmula única sencilla, podemos dividir la figura en rectángulos y triángulos conocidos, hallar sus áreas y sumarlas. También podemos imaginar un rectángulo mayor y restar un trozo retirado, siempre que las medidas describan completamente la figura.

Ejemplo sin dibujo: partimos de un rectángulo de 8 m de ancho por 6 m de alto. Le quitamos de la esquina superior derecha un rectángulo de 3 m de ancho por 2 m de alto. La figura que queda tiene forma de L.

1. Área del rectángulo grande: 8 × 6 = 48 m².
2. Área del rectángulo retirado: 3 × 2 = 6 m².
3. Área de la figura restante: 48 − 6 = 42 m².

Comprobación alternativa: la franja inferior mide 8 m × 4 m = 32 m². El bloque superior izquierdo mide 5 m × 2 m = 10 m². Sumando 32 + 10 obtenemos otra vez 42 m². Las dos descomposiciones describen la misma superficie.

Antes de hacer una operación

• Comprueba si te piden superficie, no longitud del borde.
• Identifica la figura y los datos necesarios; la altura del triángulo debe ser perpendicular.
• Para un polígono regular, usa perímetro y apotema solo cuando ambos estén disponibles y la condición de regularidad se cumpla.
• En una figura compuesta, suma partes que no se superpongan o resta una parte retirada de una figura mayor.
• Escribe el resultado en unidades cuadradas, por ejemplo cm² o m².

Ejercicios para resolver

1. Una hoja rectangular mide 7 m de largo y 3 m de ancho. ¿Qué área tiene?
2. Un triángulo tiene 9 cm de base y 4 cm de altura perpendicular. ¿Cuál es su área?
3. Un pentágono regular tiene cinco lados de 4 cm y una apotema medida de 2,8 cm. Calcula su área usando los datos suministrados.
4. De un rectángulo de 10 m por 7 m se retira de una esquina un rectángulo de 4 m por 3 m. ¿Qué área queda?
5. Una mesa rectangular tiene 20 cm de base y un área de 200 cm². ¿Cuánto mide su altura?
6. ¿Sería correcto calcular el área de un polígono irregular cualquiera multiplicando su perímetro por una supuesta apotema y dividiendo entre dos? Explica qué podrías hacer en su lugar.

Solucionario explicado

1. 21 m². El área del rectángulo es 7 × 3 = 21. El enunciado emplea metros, por eso la respuesta se expresa en metros cuadrados.
2. 18 cm². Multiplicamos 9 × 4 = 36 y dividimos entre dos: 36 ÷ 2 = 18. La altura indicada es perpendicular.
3. 28 cm² aproximadamente. El perímetro del pentágono regular es 5 × 4 = 20 cm. Su área calculada con la apotema proporcionada es (20 × 2,8) ÷ 2 = 28 cm². Es aproximada si la apotema está redondeada.
4. 58 m². El rectángulo inicial ocupa 10 × 7 = 70 m²; el trozo retirado, 4 × 3 = 12 m². Restamos 70 − 12 = 58 m².
5. 10 cm. Como área = base × altura, dividimos 200 cm² entre 20 cm: obtenemos 10 cm. Al dividir unidades cuadradas entre unidades de longitud queda una longitud.
6. No. La fórmula con una sola apotema corresponde al polígono regular bajo las condiciones explicadas. En una figura irregular podemos dividirla en triángulos y rectángulos con medidas conocidas y sumar las áreas, o restar una región de una figura mayor.

Una última comprobación útil: si has contado cuadrados de superficie, tu respuesta debe contener una unidad al cuadrado. Una cifra en centímetros sin el «²» describiría una longitud, no el área solicitada.