Cuántas caras quedan visibles en una torre de cubos

Las caras que desaparecen al unir cubos

Imagina dos cubos iguales unidos uno encima de otro. Antes de unirlos hay doce caras. La cara superior del cubo inferior y la cara inferior del cubo superior se tocan: dejamos de ver dos. La figura conserva diez caras expuestas al exterior. Aquí contamos caras, no centímetros cuadrados; si cada cara tuviera un área concreta, podríamos multiplicar el resultado por esa área.

Tres torres, una regla que puedes comprobar

Una torre de dos cubos tiene un contacto; una de tres, dos contactos; una de cuatro, tres. Cada contacto cubre dos caras: una de cada cubo. La regla para estas torres rectas es seis por el número de cubos, menos dos por cada unión.

La cuenta de tres cubos merece detenerse: 18 − 4 = 14, porque hay dos uniones y cada una tapa dos caras. No restamos tres porque haya tres cubos ni restamos cuatro por una sola unión.

¿Exterior es lo mismo que visible sobre la mesa?

No siempre. En estas actividades distinguiremos dos preguntas. Caras exteriores son las que no comparten superficie con otro cubo, incluso si una queda apoyada en la mesa. Caras a la vista sobre la mesa son las exteriores que no quedan tapadas por ese apoyo. Para contarlas, observa la figura desde varios lados. Una torre vertical tiene solo un cubo tocando la mesa; por eso sus resultados son 9, 13 y 17 caras a la vista para las torres de dos, tres y cuatro, respectivamente.

Esta distinción evita una aparente contradicción: decir que una torre de tres cubos tiene catorce caras exteriores y trece a la vista puede ser correcto en ambos casos, siempre que se indique qué se cuenta.

Cuando la construcción forma una L

Coloca dos cubos juntos sobre la mesa y uno más encima del cubo izquierdo. La figura tiene una base de dos cubos y una segunda capa de uno. Vista de frente, se parece a una L. Tiene tres cubos y dos contactos entre caras, de modo que presenta 14 caras exteriores: exactamente lo mismo que la torre recta de tres. Pero dos cubos tocan la mesa: si contamos únicamente las caras a la vista, quedan 12.

Puedes comprobarlo dibujando la figura por capas. En la capa inferior marca dos cuadrados contiguos; en la superior, marca uno sobre el primero. Cuenta las caras de arriba, de abajo y de los costados. No hace falta que las piezas sean transparentes: basta con reconocer qué dos caras se encuentran en cada unión.

Construye, dibuja y explica

La ficha incluye cuatro redes de cubo recortables. Cada red tiene seis cuadrados iguales, líneas de corte y de pliegue; se fija con pequeñas tiras de cinta por fuera. Si prefieres no recortar, utiliza cuatro cubos de construcción del mismo tamaño. Para la torre de dos solo necesitarás dos piezas; conserva las otras para la torre de cuatro y la figura en L.

Antes de sumar, responde: ¿cuántas uniones aparecen? Después comprueba cada cuenta desde varias vistas. Puedes dibujar una flecha hacia la cara apoyada en la mesa y decidir si la quieres excluir del recuento. Lo importante es mantener la misma convención en toda la respuesta.

Una pregunta resuelta: con cuatro cubos en una torre hay 24 caras antes de unirlos. Tres uniones esconden seis caras. Quedan 18 exteriores y, si la torre descansa sobre una cara inferior, 17 a la vista.

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El conteo de caras no es lo mismo que averiguar cuántos cubos caben en una caja. Aquí nos interesan las superficies que quedan libres después de unir piezas.

Para consultar

El material del proyecto NRICH de la Universidad de Cambridge sobre redes de cubo incluye la relación entre figuras tridimensionales y redes planas. Los modelos y números de esta actividad son originales y no representan una equivalencia curricular obligatoria.