Diez prismas: bases, caras, aristas, vértices y ejercicios

Un prisma es un poliedro con dos bases poligonales congruentes y paralelas y caras laterales que son paralelogramos. Podemos reconocer prismas triangulares, cuadrangulares, pentagonales y muchos otros. Vamos a estudiar diez tipos y a comprobar cuántas caras, aristas y vértices tiene cada uno.

Qué son las bases, las caras, las aristas y los vértices

• Bases: los dos polígonos iguales y paralelos que dan nombre al prisma.
• Caras laterales: unen los lados correspondientes de ambas bases. En un prisma recto son rectángulos; en uno oblicuo, por lo general son paralelogramos inclinados.
• Aristas: segmentos donde se encuentran dos caras.
• Vértices: esquinas donde concurren aristas.

En un prisma se cuentan todas sus caras, incluidas las dos bases. Una caja con forma de prisma cuadrangular puede tener caras rectangulares: no es necesario que todas sean cuadrados.

Cómo calcular las cantidades sin dibujar cada prisma

Si cada base tiene n lados, hay n + 2 caras (n laterales y dos bases), 3n aristas (n en cada base y n que las conectan) y 2n vértices (n en cada base).

Caras = n + 2; aristas = 3 × n; vértices = 2 × n.

Las fórmulas sirven para prismas ordinarios de bases poligonales simples, tanto rectos como oblicuos. No dependen de cómo se oriente el prisma en el dibujo.

Diez prismas y el recuento correcto

Estos son diez tipos por la cantidad de lados de sus bases, no diez objetos diferentes fotografiados ni diez modelos que se hayan construido de verdad. Un prisma puede tener muchas formas dentro del mismo tipo según la forma exacta de su base y la inclinación de sus aristas laterales.

Tres recuentos explicados

Prisma triangular: n = 3

Tiene dos triángulos de base y tres caras laterales: 2 + 3 = 5 caras. Sus bases aportan seis aristas y tres aristas unen los vértices correspondientes: 9 aristas. Dos bases de tres vértices cada una: 6 vértices.

Prisma hexagonal: n = 6

Caras = 6 + 2 = 8; aristas = 3 × 6 = 18; vértices = 2 × 6 = 12.

Prisma decagonal: n = 10

Caras = 10 + 2 = 12; aristas = 3 × 10 = 30; vértices = 2 × 10 = 20.

Comprueba la regla de Euler

Para un prisma convexo se cumple V − A + C = 2, donde V significa número de vértices, A número de aristas y C número de caras. En el prisma hexagonal: 12 − 18 + 8 = 2. Y con las fórmulas: 2n − 3n + (n + 2) = 2. Es una comprobación útil del recuento, no una razón para confundir «A» de aristas con «área».

Red o desarrollo plano de un prisma

Un prisma triangular recto se puede desplegar en tres rectángulos y dos triángulos congruentes. Los rectángulos tienen, cada uno, un lado igual a la longitud de un lado de la base y otro igual a la altura del prisma. Los triángulos deben unirse a bordes que permitan formar las dos bases opuestas. Un prisma cuadrangular recto de bases cuadradas necesita cuatro rectángulos laterales y dos cuadrados de base.

No cualquier conjunto de polígonos pegados forma una red que cierre sin superposiciones. Por eso, antes de recortar, comprueba que las medidas de las aristas que se van a unir sean iguales. Si dibujas un desarrollo plano a una escala elegida, mantén la misma medida en las aristas que deban encajar y compruébalo antes de recortar.

Ocho ejercicios y soluciones

1. ¿Cuántas bases tiene cualquier prisma?
2. ¿Cuántas caras tiene un prisma pentagonal?
3. ¿Cuántos vértices tiene uno octagonal?
4. Halla las aristas de uno heptagonal.
5. Un prisma tiene 14 caras. ¿Cuántos lados tiene cada base?
6. Un prisma tiene 24 vértices. ¿Cuántas caras tiene?
7. Comprueba la fórmula de Euler en un prisma cuadrangular.
8. Un alumno dice que un prisma triangular tiene 3 caras porque su base es triangular. ¿Qué olvidó?

Respuestas comprobadas

1. Dos, paralelas y congruentes.
2. 5 + 2 = 7 caras.
3. 2 × 8 = 16 vértices.
4. 3 × 7 = 21 aristas.
5. n + 2 = 14; n = 12 lados por base.
6. 2n = 24; n = 12; caras = 12 + 2 = 14.
7. 8 − 12 + 6 = 2.
8. Olvidó dos bases triangulares y las tres caras laterales: son cinco caras en total.

Resumen

Identifica primero cuántos lados tiene la base, n. Después calcula caras n + 2, aristas 3n y vértices 2n. La tabla no sustituye la observación de un objeto o de un desarrollo plano: acompaña a ambas. Para conocer otros sólidos, revisa cubos, prismas, pirámides y esferas.

Referencia para ampliar área y volumen de prismas: OpenStax, «Volume and Surface Area». Tabla, ejemplos, ejercicios y redes originales de Aureliano Vargas.