Propiedad triangular: cuándo tres segmentos forman un triángulo

La regla: dos lados juntos deben superar al tercero

Si los lados miden a, b y c, deben cumplirse estas tres desigualdades:

• a + b > c
• a + c > b
• b + c > a

El signo > se lee «mayor que». La palabra importante es mayor, no «mayor o igual». Si dos palitos estirados miden juntos exactamente lo mismo que el tercero, solo pueden formar una línea recta, no un triángulo con superficie.

Primer ejemplo: sí se puede construir

Tenemos tres segmentos de 4 cm, 5 cm y 6 cm. Probemos la suma de cada pareja:

• 4 + 5 = 9, que es mayor que 6.
• 4 + 6 = 10, que es mayor que 5.
• 5 + 6 = 11, que es mayor que 4.

Las tres comprobaciones son verdaderas. Por lo tanto, sí puede formarse un triángulo con esas longitudes. No necesitamos saber primero si será equilátero, isósceles o escaleno: la desigualdad responde a una pregunta anterior, la de si la figura es posible.

Segundo ejemplo: no se puede construir

Ahora imaginemos segmentos de 2 cm, 3 cm y 6 cm. La suma de los dos más cortos es 2 + 3 = 5, menor que 6. Aunque movamos los palitos, sus extremos no podrán encontrarse de manera que formen un triángulo. El lado mayor queda demasiado largo.

Si cambiamos las longitudes por 2 cm, 4 cm y 6 cm, tampoco se forma un triángulo auténtico: 2 + 4 = 6 es una igualdad. Los tres segmentos solo pueden alinearse. Esta es la diferencia entre una figura cerrada y una forma «aplastada» sin altura.

Un truco para comprobar más rápido

Cuando las tres longitudes son positivas, ordénalas de menor a mayor. Suma las dos más pequeñas y compárala con la mayor. Si la suma es mayor, las otras dos desigualdades también se cumplen. Si es menor o igual, no hay triángulo. El truco no cambia la regla: solo ahorra operaciones.

Por ejemplo, con 7, 3 y 5 cm, ordenamos 3, 5, 7. Como 3 + 5 = 8 y 8 > 7, sí es posible. Con 8, 2 y 5 cm, ordenamos 2, 5, 8 y vemos que 2 + 5 = 7, menor que 8: es imposible.

Actividad con tiras de papel

Recorta tres tiras rectas de papel de 3, 4 y 5 cm. Únelas por sus extremos sin superponerlas; podrás cerrar un triángulo. Después intenta el mismo experimento con tiras de 2, 3 y 5 cm. No podrás obtener un triángulo con altura, porque las dos menores suman exactamente 5. Si usas tijeras, hazlo con la supervisión apropiada para la edad y sobre una superficie estable.

Esta actividad verifica la idea de forma visual, pero el resultado matemático no depende de la precisión de unas tijeras: lo decisivo son las longitudes de los segmentos ideales.

Ejercicios con soluciones

A. ¿Sirven 5, 5 y 5 cm? Sí, porque 5 + 5 > 5. Es un triángulo equilátero.

B. ¿Sirven 1, 4 y 6 cm? No, porque 1 + 4 = 5, que no supera 6.

C. ¿Sirven 6, 8 y 13 cm? Sí, porque 6 + 8 = 14 > 13.

D. Dos lados miden 4 y 7 cm. ¿Puede el tercero medir 3 cm? No, porque 4 + 3 = 7. ¿Y 5 cm? Sí, porque 4 + 5 > 7, y se cumplen las otras sumas.

E. ¿Qué falla en «3 + 6 = 9, por tanto los lados 3, 6 y 9 sí forman un triángulo»? Respuesta: se necesita una desigualdad estricta; una igualdad no basta.

Descargar ficha en PDF

Resumen

Tres longitudes positivas forman un triángulo solo cuando la suma de cualquier par supera a la tercera. Para comprobarlo deprisa, suma las dos más cortas y compáralas con la más larga. Igualar no basta.

Fuentes educativas

• Educ.ar, recurso de geometría sobre propiedad triangular.
• Editorial UNIPE, La enseñanza de la geometría. Contexto didáctico; no se reproduce material ajeno.
• Clasificación de los triángulos por lados y ángulos. Lectura complementaria distinta de la regla de existencia.

Texto editorial: Aureliano Vargas.