Por Aureliano Vargas
Si multiplicas 6 por 6, obtienes 36. La raíz cuadrada principal de 36 responde a la pregunta inversa: ¿qué número no negativo, multiplicado por sí mismo, da 36? La respuesta es 6. Comprender esa relación ayuda a resolver ejercicios sin memorizar símbolos aislados.
Índice
Qué significa el símbolo de raíz cuadrada
Escribimos √36 = 6 y lo leemos «raíz cuadrada de treinta y seis igual a seis». El número dentro del signo, 36, se llama radicando. Como 6 × 6 = 36, sabemos que el resultado es correcto.
Elevar un número al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo: 4² = 4 × 4 = 16. Extraer la raíz cuadrada principal de un número no negativo busca deshacer esa operación. Así, √16 = 4.
Para empezar con números reales, trabajamos con radicandos de cero o mayores. La expresión √(−9) no tiene un resultado real, porque el cuadrado de cualquier número real es no negativo.
Cuadrados perfectos fáciles de reconocer
Un cuadrado perfecto es un número entero no negativo que resulta de elevar otro entero al cuadrado. Conviene practicar estas parejas:
- 0² = 0; 1² = 1; 2² = 4; 3² = 9.
- 4² = 16; 5² = 25; 6² = 36; 7² = 49.
- 8² = 64; 9² = 81; 10² = 100.
- 11² = 121; 12² = 144.
Si sabes que 9² = 81, entonces sabes que √81 = 9. Compruébalo realizando la multiplicación: 9 × 9 = 81. No confundas elevar al cuadrado con multiplicar por 2: 9² es 81, no 18.
La raíz principal y la ecuación x² = 49 no son lo mismo
Este detalle evita muchos errores. El símbolo √49 representa la raíz principal, que es 7, nunca «7 y −7» a la vez. Sin embargo, si preguntamos qué números cumplen x² = 49, encontramos dos: 7 y −7. En efecto, 7 × 7 = 49 y (−7) × (−7) = 49.
Para cualquier número positivo a, la ecuación x² = a tiene dos soluciones reales: √a y −√a. En cambio, x² = 0 solo tiene la solución 0. En primaria suele ser suficiente empezar por las raíces principales y comprender después esta diferencia.
Cómo estimar una raíz que no es exacta
No todos los radicandos son cuadrados perfectos. Por ejemplo, para estimar √26, compara 26 con 25 y 36. Sabes que 5² = 25 y 6² = 36, de modo que √26 está entre 5 y 6.
Si necesitas una aproximación decimal, prueba 5,1: 5,1 × 5,1 = 26,01. Como ese resultado está muy cerca de 26, √26 es aproximadamente 5,1. Una estimación no debe presentarse como igualdad exacta: √26 ≈ 5,1, no √26 = 5,1.
Ejercicios graduados con soluciones
1. Del cuadrado a la raíz
Calcula 6² y después √36.
Solución: 6 × 6 = 36; como 36 es el cuadrado de 6, √36 = 6.
2. Tres raíces exactas
Encuentra √81, √100 y √121.
Solución: 9, 10 y 11, porque 9² = 81, 10² = 100 y 11² = 121.
3. Completa el número que falta
√___ = 7. ¿Qué número va dentro del signo?
Solución: 49, porque 7 × 7 = 49.
4. Corrige una afirmación
Un alumno escribió «√64 = ±8». ¿Qué parte debe corregir?
Solución: debe escribir √64 = 8. Si resolviera x² = 64, las soluciones serían 8 y −8, pero el símbolo de raíz designa la principal.
5. Encuentra un intervalo
¿Entre qué dos números enteros consecutivos está √30?
Solución: entre 5 y 6, pues 25 < 30 < 36, y 5² = 25, 6² = 36.
6. Resuelve una ecuación
¿Qué números reales cumplen x² = 25?
Solución: 5 y −5. Ambos, al multiplicarse por sí mismos, dan 25.
7. Decide si existe una raíz real
¿Tiene resultado real √(−4)?
Solución: no; ningún número real elevado al cuadrado produce −4.
Una forma de comprobar cada respuesta
Después de calcular una raíz principal, multiplica el resultado por sí mismo y revisa si recuperas el radicando. Si estimaste una raíz, comprueba qué tan cerca queda el cuadrado de tu aproximación. Este hábito permite encontrar errores sin depender de una calculadora.