Dos sellos por turno: qué marcas pueden terminar con todos los círculos llenos
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El reto no es colorear deprisa ni adivinar una jugada. Es descubrir qué característica del tablero permanece incluso cuando cambian las marcas.
Índice
Un turno puede tener tres resultados
Imagina que empiezas con tres círculos llenos. Si cambias dos vacíos, terminas con cinco llenos: has ganado dos. Si cambias dos llenos, te quedas con uno: has perdido dos. Si cambias uno lleno y uno vacío, el total sigue siendo tres: uno se vacía y otro se llena.
En resumen, el número de círculos llenos puede variar en dos más, dos menos o ninguno. Nunca cambia en una sola unidad. Esto sucede con cualquier jugada que cumpla la regla.
El secreto está en contar pares e impares
Los números pares son los que se pueden agrupar de dos en dos sin dejar uno suelto. Los impares dejan uno. Sumar dos, restar dos o dejar una cantidad igual no cambia si era par o impar.
Por ejemplo, empezar con cuatro llenos obliga a pasar por cantidades pares: dos, cuatro o seis, según lo que cambies. El objetivo, siete llenos, es impar. Desde cuatro no se puede llegar a siete, por muchos turnos que hagas.
En cambio, si empiezas con tres llenos, hay cuatro vacíos. Puedes llenar dos en el primer turno y los otros dos en el segundo. El tablero pasa de tres a cinco y después a siete. La regla se cumple en ambos movimientos.
Una prueba que no depende de la suerte
Para comprobar un caso imposible no hace falta probar todas las partidas. Basta demostrar que el cambio de dos círculos conserva la paridad. Si el inicio tiene cero, dos, cuatro o seis llenos, el final siempre tendrá una cantidad par; siete queda fuera de ese grupo.
Si empiezas con uno, tres o cinco, quedan respectivamente seis, cuatro o dos círculos vacíos. Puedes llenarlos en parejas hasta completar siete. Si los siete ya están llenos, el objetivo está alcanzado sin jugar ningún turno.
La idea importante es distinguir una secuencia de ejemplo de una razón general. Una partida muestra que un caso se puede resolver; la paridad explica por qué todos los casos pares son imposibles.
La jugada que no cambia el total
Colorea los círculos primero y segundo. Ahora cambia el segundo y el tercero: el segundo queda vacío y el tercero lleno. Antes había dos llenos y después también. No es un turno sin acción; han cambiado dos lugares, pero el recuento se conserva.
Puedes practicar con el tablero imprimible y tarjetas de estados iniciales (PDF). Incluye una partida que llega al objetivo, otra que nunca podrá hacerlo y una prueba de «cambio cero». El solucionario (PDF) explica el motivo de cada respuesta.
Actividad rápida: cinco círculos llenos
Hay cinco círculos llenos y dos vacíos. ¿Cuántos turnos necesitas como mínimo para completar siete? Uno: cambia los dos vacíos. ¿Y si empiezas con seis llenos? No es posible llegar exactamente a siete con esa regla, porque seis es par y siete es impar.
